Kumpulan Rumus dan Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Kumpulan Rumus Matematika - Persamaan Kuadrat. Persamaan kuadrat merupakan salah satu topik dalam ilmu matematika yang sangat banyak aplikasinya. Konsep-konsep persamaan kuadrat banyak digunakan dalam topik lainnya seperti logaritma, eksponen, bahkan juga digunakan dalam bidang ilmu yang lain seperti fisika. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk memahami konsep-konsep dasar dalam persamaan kuadrat. Itu sebabnya pada kesempatan ini Edukiper akan mencoba merangkum rumus-rumus persamaan kuadrat.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

ax2 + bx + c = 0

Dengan a,b , dan c merupakan himpunan bilangan real dan a ≠ 0.

Keterangan :
a = koefisien dari x²
b = koefisien dari x
c = suku tetapan

Contoh :
Nyatakan 2x² = 2x - 5 ke dalam bentuk baku persamaan kuadrat dan nyatakan nilai masing-masing koefisiennya.

Jawab :
⇒ 2x² = 2x - 5
⇒ 2x² - 2x + 5 = 0
Jadi, a = 2, b = -2, c = 5.

Jenis-jenis Persamaan Kuadrat

Berdasarkan nilai a, b, dan c, maka persamaan kuadrat dapat dibedakan menjadi lima bagian yaitu :

1. Persamaan Kuadrat Biasa

   x2 + bx + c = 0

   
   Dengan a = 1.
   
   
2. Persamaan Kuadrat Sempurna 

   ax2 + c = 0

   
   Dengan b = 0.
   
   
3. Persamaan Kuadrat Tak Lengkap

   ax2 + bx = 0

   
   Dengan c = 0.
   
   
4. Persamaan Kuadrat Real

   ax2 + bx + c = 0

   
   Dengan a, b, dan c bilangan real.
   
   
5. Persamaan Kuadrat Rasional

   x2 + bx + c = 0

   
   Dengan a, b, dan c bilangan irasional.

Rumus Diskriminan Persamaan Kuadrat

Jika diberi persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka diskriminannya adalah :

D = b2 − 4 ac

Dengan :
D = diskriminan persamaan kuadrat
b = koefisien dari x
a = koefisien dari x²
c = suku tetapan

Contoh :
Tentukan diskriminan dari x² + 4x - 6 = 0.

Jawab :
Dari x² + 4x - 6 = 0, dik a = 1, b = 4, dan c = -6

Diskriminan :
⇒ D = b² − 4 ac
⇒ D = 4² − 4(1)(-6)
⇒ D = 16 + 24
⇒ D = 40

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Berdasarkan nilai diskriminannya, maka jenis akar dapat dibagi menjadi :

1. Jika D > 0
   ⇒ Akar-akar real berlainan
   
   
2. Jika D = 0
   ⇒ Akar-akar kembar, real, dan rasional
   
   
3. Jika D < 0
   ⇒ Akar-akar tidak real.

Contoh :
Tentukanlah jenis akar persamaan kuadrat x² - 8x + 4 = 0!

Jawab :
Dari x² - 8x + 4 = 0, dik a = 1, b = -8, dan c = 4.

Diskriminan :
⇒ D = b² − 4 ac
⇒ D = (-8)² − 4(1)(4)
⇒ D = 64 - 16
⇒ D = 48
⇒ D > 0
Karena D > 0, maka jenis akarnya adalah real dan berlainan.

Rumus Menyelesaikan Persamaan Kuadrat atau Mencari Akar-akar

1. Dengan Metode Pemfaktoran

   a(x − x1)(x − x2) = 0

   
   Dengan x₁ dan x₂ akar-akar persamaan kuadrat.
   
   Contoh :
   Tentukan akar-akar dari  x² - 5x + 6 = 0!
   
   Jawab :
   ⇒ x² - 6x + 9 = 0
   ⇒ (x - 3)(x - 2) = 0
   ⇒ x = 3 atau x = 2
   
   
2. Dengan Melengkapi Kuadrat Sempurna
   1. Ubah persamaan kuadrat ke dalam bentuk : 

      (x + p)2 = q

      
      Dengan q ≥ 0
      
      
   2. Tentukan akar-akar sesuai bentuk terakhir :

      x + p = ±√q atau x = -p ±√q

   
   Contoh :
   Tentukan akar-akar x² - 2 = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna!
   
   Jawab :
   ⇒ x² - 2x - 2 = 0
   ⇒ (x² - 2x + 1) + (-1) - 2 = 0
   ⇒ (x - 1)² - 3 = 0
   ⇒ (x - 1)² = 3
   ⇒ (x - 1) = ±√3
   ⇒ x = 1 + √3 atau x = 1 - √3.
   
   
3. Dengan Rumus Kuadrat abc

   x1,2 = -b ± √b2 − 4ac 2a

   
   Contoh :
   Tentukan akar dari persamaan x² - 4x + 3 = 0.
   
   Jawab :
   Dari x² - 4x + 3 = 0 dik a = 1, b = -4, dan c = 3
   

   ⇒ x1,2 =	-b ± √b2 − 4ac
   	2a

   ⇒ x1,2 =	-(-4) ± √(-4)2 − 4(1)(3)
   	2(1)

   ⇒ x1,2 =	4 ± √16 − 12
   	2

   ⇒ x1,2 =	4 ± 2
   	2

   ⇒ x_1,2 = 2 ± 1
   Jadi x = 2 + 1 = 3  atau x = 2 - 1 = 1

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Jika diberi persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar x₁ dan x₂, maka :

1. Jumlah Akar

   x1 + x2 = -b/a

   
   
2. Hasil Kali Akar 

   x1 . x2 = c/a

   
   
3. Selisih Akar

   x1 − x2  = ± √D a

Keterangan :
a = koefisien dari x²
b = koefisien dari x
c = suku tetapan
D = diskriminan

Contoh :
Tentukanlah jumlah akar dan hasil kali akar dari persamaan x² - 4x + 3 = 0.

Jawab :
Dari x² - 4x + 3 = 0 dik a = 1, b = -4, dan c = 3

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ = -b/a
⇒ x₁ + x₂ = -(-4)/1
⇒ x₁ + x₂ = 4

Hasil kali akar :
⇒ x₁ . x₂ = c/a
⇒ x₁ . x₂ = 3/1
⇒ x₁ . x₂ = 3

Bentuk Khusus Dalam Rumus Jumlah dan Hasil Kali 

x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1.x2

x12 − x22 = (x1 + x2)(x1 − x2)

x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1.x2(x1 + x2)

x13 − x23 = (x1 − x2)3 + 3x1.x2(x1 − x2)

x14 + x24 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2]2  − 2(x1.x2)2

x14 − x24 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2] [(x1 − x2)(x1 + x2)]

Rumus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

1. Rumus Umum
   Persamaan Kuadrat Awal :
   

   (x − x1)(x − x2) = 0 atau x2 − (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

   
   Dengan x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat awal.
   
   Persamaan Kuadrat Baru :
   

   x2 − (α + β)x + α.β = 0

   
   Dengan α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.
   
   
2. Rumus Khusus
   1. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya n Kali Akar Sebelumnya (nx₁ dan nx₂)

      ax2 + nb x + n2c = 0

      
      Contoh :
      Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan x² - 6x + 2 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar persamaan tersebut.
      
      Jawab :
      Dari x² - 6x + 2 = 0 dik a = 1, b = -6, dan c = 2.
      Dari soal diketahui n = 2.
      
      Persamaan Kuadrat Baru :
      ⇒ ax² + nb x + n²c = 0
      ⇒ 1x² + 2(-6)x + 2²(2) = 0
      ⇒ x²  - 12x + 8 = 0
      
      
   2. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Berkebalikan Dari Akar Sebelumnya (1/x₁ dan 1/x₂)

      cx2 + bx + a = 0

      
      Contoh :
      Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan x² - 4x + 5 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/x₁ dan 1/x₂.
      
      Jawab :
      Dari x² - 4x + 5 = 0 dik a = 1, b = -4, dan c = 5.
      
      Persamaan Kuadrat Baru :
      ⇒ cx² + bx + a = 0
      ⇒ 5x² + (-4)x + 1 = 0
      ⇒ 5x²  - 4x + 1 = 0
      
      
   3. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Berlawanan Dengan Akar Sebelumnya (-x₁ dan -x₂)

      ax2 − bx + c = 0

      
      Contoh :
      Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan 2x² - 4x + 9 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya -x₁ dan -x₂.
      
      Jawab :
      Dari 2x² - 4x + 9 = 0 dik a = 2, b = -4, dan c = 9.
      
      Persamaan Kuadrat Baru :
      ⇒ ax² − bx + c = 0
      ⇒ 2x² − (-4)x + 9 = 0
      ⇒ 2x²  + 4x + 9 = 0
      
      
   4. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya n Lebihnya dari Akar Sebelumnya (x₁ + n dan x₂ + n)

      a(x - n)2 + b(x - n) + c = 0

      
      Contoh :
      Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan x² - 2x - 6 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁ + 3 dan x₂ + 3.
      
      Jawab :
      Dari x² - 2x - 6 = 0 dik a = 1, b = -2, dan c = -6.
      Dari soal diketahui n = 3.
      
      Persamaan Kuadrat Baru :
      ⇒ a(x - n)² + b(x - n) + c = 0
      ⇒ 1(x - 3)² + (-2)(x - 3) + (-6) = 0
      ⇒ x²  - 6x + 9 - 2x + 6 - 6 = 0
      ⇒ x²  - 8x + 9 = 0
      
      
   5. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya n Kurangnya dari Akar Sebelumnya (x₁ - n dan x₂ - n)

      a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0

      
      
   6. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Kuadrat Akar Sebelumnya (x₁² dan x₂²)

      a2x2 − (b2 - ac)x + c2 = 0

      
      
   7. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Saling Berkebalikan (x₁/x₂ dan x₂/x₁)

      acx2 − (b2 - ac)x + ac = 0

      
      
   8. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Jumlah dan Hasil Kali Akar Sebelumnya (x₁ + x₂ dan x₁ . x₂)

      a2x2 + (ab - ac)x − bc = 0

      
      
   9. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Pangkat Tiga Akar Sebelumnya (nx₁³ dan nx₂³)

      a3x2 + (b3 - 3abc)x + c3 = 0

      
      
   
   

FacebookFollow UsYoutubeInstagram